minevi.ru  
страница 1страница 2страница 3
скачать файл

Группированные данные по торговой площади магазинов

Торговая площадь магазинов, кв. м

Число магазинов, единиц

До 100

3

От 100 до 120

13

От 120 до 140

15

От 140 до 160

20

От 160 до 180

8

Свыше 180

1

ИТОГО

60

Как видно из сгруппированных данных, модальный интервал будет лежать в границах интервала от 140 до 160 кв. м, так как этому интервалу соответствует большая частота (20 магазинов). Теперь подставим числовые значения из приведенного примера в формулу

Следовательно, из этой группы больше всего магазинов имеют торговую площадь 145,8 кв. м.

Как и мода, медиана относится к структурным средним, она так же является конкретной величиной. Размеры отклонений значе­ний других вариант на моду и медиану не оказывают влияния.
Медианой называется серединная варианта упорядоченно­го вариационного ряда, расположенного в возрастающем и убы­вающем порядке. Она является центральным членом и делит ва­риационный ряд пополам в тех случаях, если этот ряд нечетный.

В ряду, состоящем из 15 чисел, медианой будет 8-е число, от которого как вниз, так и вверх будет расположено по 7 чисел.

Например, в торговле эти две величины применяются при оп­ределении покупательского спроса на отдельные продовольствен­ные и непродовольственные товары, при определении качества товаров и т. д.

Пример.

А. Дан нечетный вариационный ряд роста студенток: 156 158 160 [161] 166 168 172

Из приведенного нечетного ряда видно, что центральным чле­ном (медианой) данного ряда является рост студентки — 161 см.

В случае четного вариационного ряда медиана определяется следующим образом: серединные два члена вариационного ряда складываются и делятся пополам.

Б. Дан четный вариационный ряд роста студенток: 155 156 158 160 161 166 168 172



Расчет медианы интервального ряда.

Если варианты в ряду распределения заданы в виде интервалов, то первоначально находят медианный интервал, который содержит единицу, находящуюся в середине ранжированного ряда. Для определения этого интервала сумму частот делят пополам и на основе последовательного суммирования частот первого, второго, третьего и т. д. интервалов находят интервал, где расположена медиана. Приближенное значение Ме в медианном интервале исчисляется по формуле:



где хо — нижняя граница медианного интервала;



i — величина медианного интервала;

— сумма частот интервального ряда;

S(m-1)— сумма накопленных частот в интервалах предшествующих медианному;

fт — частота медианного интервала.
Из этой формулы следует, что к нижней границе медианного интервала (хо) добавляется та часть медианного интервала, которая пропорциональна удельному весу в частоте медианного интервала части ее, расположенной от нижней границы интервала до Ме.

Пример. В интервальном ряду (табл. 9) даны группы семей по среднемесячному доходу на 1 человека. Требуется определить для этого ряда серединное значение, т. е. медиану. Таблица .9

Расчет медианы по интервальному ряду

Группы семей по среднемесячному доходу на 1 человека, руб.

Число семей

До 900

10

900—1200

20

1200—1500

40

1500—1800

10

Свыше 1800

20

ИТОГО

100

Следовательно, 50% семей имеют доход на одного человека не более 1350 руб., а 50% имеют доход на одного человека бо­лее 1350 руб.

У медианы есть свойство, которое заключается в том, что сум­ма абсолютных величин линейных отклонений от Ме мини­мальна.

Это свойство очень важно при практическом применении ме­дианы.

Пример. Филиалы торговой фирмы "Элегант" расположены на расстоянии 10,30, 70,90,100 км от нее. Где построить склад фирмы для оптимального снабжения филиалов? Расчет показан в табл. .10. Таблица .10

Расчетная таблица для сравнения отклонений от медианы и от средней арифметической


Расстояние, км





10

-60

-50

30

-40

-30

70

0

+10

90

+20

+30

100

+30

+40

ИТОГО

±150

±160

; Ме = 70 км.

Таким образом, оптимальным вариантом является медианное расстояние 70 км, так как 150 < 160 км на 10 км.

Подводя итог рассмотрению моды и медианы особо следует отметить, что данные два показателя часто используются вместо средней арифметической или вместе с ней. Так, например, фиксируя цены на продукты на мелкооптовых рынках, записывают наиболее часто встречающуюся цену каждого продукта, т. е. моду цены. Однако наилучшей характеристикой величины варианта или уровня ряда служит средняя арифметическая, которая имеет ряд преиму­ществ, главное из них — точное отражение суммы всех значений признаков, необходимой для решения ряда практических задач.

Вместе с тем для тех случаев, когда в совокупности имеется небольшое число единиц с чрезмерно большим или чрезмерно ма­лым значением исследуемого признака, в дополнение к средней арифметической целесообразно исчислять моду и особенно медиа­ну, которые, в отличие от средней, не зависят от этих крайних, не характерных для совокупности значений признаков.


Мода (Мо) значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью, в дискретном вариационном ряду – вариант, имеющий наибольшую частоту.

Например, в табл..1 наибольшей частотой является чис­ло 5. Этой частоте соответствует модальное значение признака, т.е. выработка деталей за смену. Мода свидетельствует, что в данном примере чаще всего встречаются рабочие, изготавли­вающие за смену 20 деталей.

В интервальных рядах распределения с равными интерва­лами мода вычисляется по формуле:



( )

где – нижняя граница модального интервала;

– модальный интервал;

– частоты в модаль­ном, предыдущем и следующем за модальным интервалах (соответственно).

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте. По данным табл. 4.4 рассчитаем моду, тыс. руб.:

Итак, модальным значением стоимости ОПФ малых предприятий региона является стоимость, равная 18,33 тыс. руб.

Мода широко используется в с/практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т.п.

Медиана (Ме) это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медиану необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.

Пусть ряд состоит из показателей заработной платы 9 рабочих (руб. в месяц ) в 2000 г.:

630, 650, 680, 690, 700, 710, 720, 730, 750.

Номер медианы для нечетного объема вычисляется по формуле



где n – число членов ряда.

В нашем примере номер медианы равен 5, медиана равна 700 руб. (т.е. одна половина рабочих получила зарплату менее 700 руб., а другая – более 700 руб. в месяц).

В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равные по чис­ленности части) оказывается в каком-то из интервалов призна­ка х. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная час­тота (накопленная сумма частот) равна или превышает полу­сумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется линей­ной интерполяцией по формуле:



(13)

где – нижняя граница медианного интервала; - медианный интервал;

– половина от общего числа наблю­дений; сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала; – число наблюдений в медианном интервале.

Формула (13) получена исходя из допущения о равно­мерности нарастания накоплений частоты внутри интервала и пригодна для любого интервального ряда.

Рассчитаем медиану по данным табл. 4.4. Прежде всего найдем медианный интервал. Таким интервалом очевидно бу­дет интервал стоимости ОПФ малых предприятий (18–20 тыс. руб.), поскольку его кумулятивная частота равна 18 (2+6+10), что превышает половину суммы всех частот (25:2 = 12,5). Ниж­няя граница интервала 18 млн руб., его частота 10; частота, накопленная до него, равна 8. Подставив данные в формулу (4.13), получим, тыс. руб.:

Полученный результат говорит о том, что из 25 малых предприятий региона 12 предприятий имеют стоимость ОПФ менее 18 тыс. руб., а 12 предприятий – более этой величины.

Медиана находит практическое применение в маркетин­говой деятельности вследствие особого свойства – сумма абсо­лютных отклонений чисел ряда от медианы есть величина наименьшая: .

Мода и медиана в отличие от степенных средних являются конкретными характеристиками, их значение имеет какой-либо конкретный вариант в вариационном ряду.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить асимметрию ряда распределения.

Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.



Квартили и децили

Более общая постановка вариант, занимающих определенное порядковое место в ранжированном ряду, называется порядковой статистикой. К порядковым статистикам принадлежат и экстре­мальные значения признака, т. е. минимальные и максимальные в данном ряду. Различают порядковые статистики, отсекающие четверти совокупности, которые называются квартили; первую или нижнюю (отсекающие четверть совокупности снизу), третью или верхнюю (отсекающие четверть сверху). Второй квартилью можно назвать медиану. Далее можно говорить об отсекающих де­сятые части — децилях и т. д.

Определение этих порядковых статистик в вариационном ряду, так же как и определение медианы, начинается с расчета порядково­го номера соответствующего варианта, а затем по накопленным час­тотам определяется интервал, в котором находится соответствующий вариант. Определение величины накопленного варианта внутри интервала тоже аналогично нахождению медианы.

В интервальном вариационном ряду квартили внутри опреде­ленного по накопленным частотам интервала рассчитываются по следующим формулам:

Нижний квартиль Верхний квартиль

где хо — нижняя граница квартальных интервалов;

i— величина интервала;

— сумма частот;

— накопленная частота интервала, предшествующего нижнему квартилю;

— накопленная частота интервала, предшествующего верхнему квартилю;

— частоты квартального интервала.

Формулы для децилей в интервальном вариационном ряду за­писываются следующим образом:





Пример. В табл. 11 дан интервальный ряд распределения 50 учащихся по росту. Определить верхний и нижний квартиль и первые два дециля. Таблица .11

Распределение 50 учащихся по росту в интервальном ряду

Рост, см х

Число учащихся

Накопленные частоты

160—165

3

3

165—170

7

10

170—175

16

26

175—180

10

36

180-185

9

45

185-190

3

48

190-195

2

50

ВСЕГО

50

-



7. Показатели вариации, способ их вычисления

При изучении совокупности явления нельзя ограничиваться только нахождением средней величины.

Средние величины дают обобщенную характеристику варьирующего признака, показывают типичные характеристики для изучаемой совокупности. Однако в средней величине не проявляется степень колеблемости отдельных значений признаков (вариант) вокруг среднего уровня. В зависимости от однородности в совокупности колеблемость признаков может быть большой или, наоборот, малой. Поэтому возникает необходимость в измерении вариации отдельных вариантов по отношению к средней величине.

Для большей убедительности приведем два ряда набора чисел:

I ряд — 6, 10,14,26,34; II ряд— 14,16,18,20,22.

Определим среднюю арифметическую ( ):

для I ряда ; для II ряда .

Таким образом, два совершенно различных ряда имеют одну и ту же среднюю (ха = 18). Отсюда следует, что эти средние не характеризуют внутреннего содержания совокупности/

В результате простого обозрения видно, что в первом ряду ко­леблемость признаков больше, чем во втором.

Для измерения пестроты, колеблемости (вариации) изучаемого признака в данной совокупности статистики применяются различ­ные показатели.

Рассмотрим сначала размах вариации (R).

Размах колебаний (R)— это разность между наибольшей и наименьшей вариантной

Для предыдущего примера амплитуда вариации составляет:

R1(I ряда) = 34 - 6 = 28 единиц;R11(II ряда) = 22 - 146 = 8 единиц.

Таким образом, можно сделать вывод, что первый ряд распределения имеет значительно большую амплитуду вариант, чем вто­рой ряд распределения.

Однако ограничиться определением вариации будет неверно, потому что этот показатель дает только общее, внешнее представ­ление о колеблемости, о пределах вариации, но не характеризует степени колебаний данного признака в этих пределах.

Размах вариации улавливает только крайние отклонения, но не отражает размера отклонений всех вариант. По показателям откло­нений оценивается надежность вычисленной средней величины, т. е. выявляется, можно ли пользоваться рассчитанной средней величи­ной.


8. Среднее квадратическое отклонение

Для определения степени колеблемости признаков использует­ся среднее квадратическое отклонение, широко применяемое в эко­номических расчетах.

Среднее квадратическое отклонение бывает простое и взвешенное. Оно обозначается буквой σ.

— простое квадратическое отклонение; —взвешенное квадратическое отклонение.

Рассмотрим порядок вычисления взвешенного среднего квадратического отклонения.



  1. Вычисляют СА взвешенную величину из ряда .

  2. Определяют отклонения отдельных вариантов от средней.

  3. Полученные отклонения возводят в квадрат.

  4. Квадраты отклонений делят на увеличивают на число случаев в этих отклонениях, то есть на частоты . Затем полученные отклонения суммируют.

  5. Сумму квадратов отклонений сумму всех чисел членов ряда:

Таким образом, получается дисперсия, или средний квадрат отклонений.

  1. Из величины, выражающей дисперсию, извлекают квадратный корень:



Пример. Произведем вычисление простого и взвешенного среднеквадратического отклонения. В табл. 12 показано распреде­ление кип шерсти по массе при отгрузке. Таблица .12

Распределение кип шерсти при отгрузке

Масса одной кипы (), кг

Количество отгруженных кип (f), шт

86

10

90

20

94

10

96

30

100

15

110

15

ИТОГО

100

Требуется определить СА простую и взвешенную, среднее квадратическое отклонение простое и взвешенное.

  1. Определяем средний вес одной кипы, для чего используем формулу средней арифметической простой:

Подставим значения:



2. Среднее квадратическое простое отклонение (не взвешенное) определяем по формуле:



Для расчета квадратического отклонения построим расчетную таблицу(таб. .13). Таблица .13


скачать файл


<< предыдущая страница   следующая страница >>
Смотрите также:
Средняя величина есть обобщающая количественная характеристика однородных явлений по какому-либо варьирующему признаку
414kb.
Конспект уроков по химии Тема урока: Химические реакции (7 класс)
136,31kb.
Тема модели динамического программирования
578,56kb.
Министерствообразования и науки российскойфедерации
192,63kb.
Аналитическая часть
1203,5kb.
Законы Мерфи для отдыхающих
16,52kb.
Кипрские соглашения о двойном налогообложении
92,19kb.
Иисус сказал: пустите детей и не препятствуйте им приходить ко Мне, ибо таковых есть Царство Небесное
52,91kb.
Атмосфера это газовая оболочка планеты, движущаяся вместе с планетой в мировом пространстве как единое целое
47,02kb.
Инструкция по настройке спутниковой антенны
52,31kb.
Блок Законы Ньютона. Масса. Силы
91,37kb.
Урок русского языка 4 класс (1-4) умк «Гармония» Тема: Однородные члены предложения. Закрепление
47,35kb.