minevi.ru  
страница 1страница 2страница 3
скачать файл

Данные для расчета квадратического отклонения

Масса кипы шерсти, кг

Отклонение от средней

(= 96 кг)



Квадраты отклонений

(х-ха)2

86

-10(86-96)

100

90

-6

36

94

-2

4

96

0

0

100

+4

16

110

+14

196

ИТОГО




Что характеризует полученное квадратическое отклонение?

Масса отдельных кип шерсти отклоняется от средней (96 кг) в одних случаях на большую величину, в других— на меньшую. В среднем это отклонение от средней составляет ±7,7 кг. Из этих данных видно и другое: простое среднее квадратическое отклонение выражается в тех же именованных числах, что и средняя величина. Поэтому оно составляет так называемое абсолютное отклонение от средней величины. По данным примера рассчитаем также среднее квадратическое отклонение (взвешенное) для характеристики ряда распределения с неравными частотами. Для этого примем во внимание количество отгруженных кип, которые будут составлять частоты(f).

Расчет производим по формуле:

Построим расчетную таблицу (табл. .14).

Сначала определяем среднюю арифметическую взвешенную:

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение (взвешенное):





Расчетные данные для определения взвешенного квадратического отклонения

Масса кипы шерсти (x). кг

Количество отгружен-ных единиц кип (f)

Общий вес отгруженной шерсти(xf). кг

Отклонение от средней арифметической взвешенной

(), кг



Квадраты отклонений

Кг2



Произведение квадратов откло­нений от средней навеса



86

90

94



96

100


110

10

20

10



30

15

15



860

1800


940

2880


1500

1650


-10,3=(86-96,3)

-6,3


-2,3

-0,3


+3,7

+13,7


106,1

39,69


5,29

0,09


13,69

187,69


1061 =(106,1x10)

793,8


52,9

2,7


205.4

2815,4


ИТОГО

100

9630=

-

-

4931,2 =

Следовательно, средняя колеблется в пределах 96,3 кг ±7,0 кг.

К вопросу 7. Коэффициент вариации

До сих пор мы изучали показатели, которые были выражены в абсолютных величинах, т. е. в тех же именованных числах, что и варьирующий признак (в данном примере — в килограммах).

Однако квадратическое отклонение, как и всякая абсолютная величина, недостаточно наглядно характеризует колеблемость вари­ант вокруг средней величины.

О том, насколько велико это отклонение, можно судить только при расчете коэффициента вариации.



Коэффициент вариации представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметиче­ской и выражается в процентах.

Коэффициент вариации рассчитывается по формулам:




а) для среднего квадратического отклонения (простого):

и в нашем примере составит:







б) для среднего арифметического отклонения (взвешенного):

т.е.

Коэффициент вариации является отвлеченным числом и по­этому он наиболее удобен в измерении вариации признаков.

Кроме того, этот показатель можно использовать для сравнения колеблемости совокупностей как с одинаковыми, так и с различны­ми признаками.



Пример. Предположим, что мы определяем колеблемость веса одной кипы шерсти по двум партиям путем сравнения коэффициен­тов вариации I и II партий. Это будет сравнение колеблемости сово­купностей, имеющих одинаковые признаки. Или, например, требу­ется сравнить, что больше колеблется: средний объем товарооборо­та одной торговой фирмы или средний размер площади торгового зала, т. е. сравниваем совокупности с разными признаками и опре­деляем степень колеблемости этих различных признаков путем вы­числения коэффициентов вариации.
Дисперсия

Дисперсия — это средний квадрат отклонения всех значе­ний признака ряда распределения от средней арифметической.

Именно дисперсия и среднее квадратическое отклонение явля­ются основными наиболее употребляемыми показателями вариации.



Обозначается дисперсия буквой

где х — значение признака;



- средняя арифметическая;

п — численность совокупности.

Но




Поделив это выражение на п, учтем, что . Тогда

т. е. дисперсия равна разности среднего квадрата вариантов и квад­рата их средней (подразумевая здесь под "средней" среднюю ариф­метическую). И, наконец,



Заменяя в формуле определения дисперсии (Dx) среднее суммами, разделенными на численность совокупности, получим формулу:



имеющую некоторые технические преимущества для ее вычисле­ния. При ее применении округление производится только один раз и в самом конце вычисления.



Пример. В табл. 15 приведены данные для расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения на примере стажа продав­цов торговой фирмы "Элегант", работающих в двух ее магазинах.

Для 1-го магазина:



Таблица.15

Данные для расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения по стажу продавцов в двух магазинах фирмы "Элегант"



п/п

1-й магазин

2-й магазин

Стаж продавцов, лет

(x)

отклонения от среднего



Квадрат отклонения



Стаж продавцов, лет

(x)

отклонения от среднего



Квадрат отклонения



1

1

-6,2

38,44

6

-1,2

1,44

2

2

-5,2

27,04

6

-1,2

1,44

3

3

-4,2

17,64

7

-0,2

0,04

4

3

-4,2

17,64

7

-0,2

0,04

5

4

-3,2

10,24

7

-0,2

0,04

б

9

1,8

3,24

7

-0,2

0,04

7

10

2,8

7,84

8

0,8

0,64

8

12

4,8

23,04

8

0,8

0,64

9

13

2,8

33,64

8

0,8

0,64

10

15

7,8

60,84

8

0,8

0,64

Итого

72

0

239,60

72

0

5,6

Таким образом, стаж продавцов отклоняется от среднего для первого магазина на 4,9 года, а для второго магазина — 0,75 года. Формула дисперсии для вариационного ряда с вариантами х и час­тотами/будет иметь вид:



где х — значение признака; — средняя арифметическая; f— частота.



Свойства дисперсии

Дисперсия обладает рядом простых свойств:

1. D(a) = 0 — дисперсия постоянной величины равна нулю.
2. — дисперсия не меняется, если все варианты увеличить или уменьшить на одно и то же число.
3. постоянный множитель выносится за знак дисперсии возведенным в квадрат. Или: если все варианты умножить на число а, дисперсия увеличиться в раз.

— это свойство носит название свойства минимальности дисперсии от средней. Дисперсия от средней меньше, чем средний квадрат отклонения от любого числа на .

Использование свойств дисперсии позволяет упрощать ее расчеты, особенно в тех случаях, когда вариационный ряд составляет арифметическую прогрессию или имеет равные интервалы. В этих случаях сначала находят дисперсию от условного нуля, а затем используют 4-е свойство дисперсии, переходят к дисперсии от средней.



Правила сложения дисперсий

Если совокупность состоит из нескольких частей, то можно определить в пределах каждой не только среднюю величину, но и дисперсию (частную дисперсию). Выясним как связана с ними общая диспепсия по всей совокупности D. Обозначим частные средние , а общую .

Суммирование в рамках i-й части обозначим











Но

Сделав подстановку, найдем Отсюда

Чтобы получить общую дисперсию, надо просуммировать все и разделить на их количество n=n1+n2+…Т.о.,

Обозначив через δi отклонение простой средней от общей, получим:

т. е. общая дисперсия равна сумме средней и частных дисперсий (взвешенной по численности соответственных частей) и среднего квадрата отклонения частных средних от общей средней (тоже со­ответственно взвешенного), или общая дисперсия равна сумме средней из частных дисперсий и дисперсии частных средних.

Это есть правило сложения дисперсий. Оно означает, что общая дисперсия складывается из двух слагаемых, одно из которых измеряет вариацию внутри частей совокупности, а второе— различия (вариацию) между этими частями (представленными средними).

Рассмотрим более подробно смысл каждой из дисперсий.

Пусть имеются данные о средних и дисперсиях заработной платы по менеджерам, работающим в двух компаниях (табл. .16).

О
пределим общую среднюю заработную плату х и дисперсию заработной платы D для всей совокупности менеджеров на основе правил сложения средних дисперсий

Т
аблица.16


Данные для определения средних и дисперсий по заработной плате компаний "Бест" и Иванов К°"


Группы менеджеров

Число менеджеров, чел. ()

Средняя месячная плата одного

менеджера, руб. ()



Дисперсия заработной платы

Менеджеры, работающие в компании "Бест"

40

4000

15000

Менеджеры, работающие в компании "Иванов и К0"

60

5200

16250


Отсюда D - 15750 + 384 -16134.

Каждая из исчисленных дисперсий имеет определенный смысл.

Общая дисперсия (D) показывает величину вариации заработ­ной платы, которая вызвана всеми факторами, влияющими на раз­мер заработной платы: различиями в оплате, квалификации, инди­видуальных качеств менеджеров и т. п.

Внутригрупповые, частные дисперсии показывают величину вариации, которая вызвана любыми причинами, например функ­циональными областями работы менеджеров.

Средняя из частных дисперсий, естественно, так же отражает вариацию, вызванную прочими кроме различий в специализации менеджеров причинами, но уже не по отдельным группам менедже­ров, а в среднем по всей совокупности менеджеров.

Межгрупповая дисперсия, или дисперсия групповых средних, характеризует вариацию групповых средних, которая обусловлена различиями групп менеджеров по разным компаниям.

Если сгруппировать менеджеров внутри компании по другому признаку, оказывающему влияние на заработок (например, по уров­ню квалификации), то можно из внутригрупповых дисперсий выделить дисперсию, показывающую величину вариации, вызванной вторым группировочным признаком, и дисперсию остаточную, ха­рактеризующую вариацию за счет всех причин, кроме двух группи-ровочных признаков. Теоретически такую комбинационную груп­пировку можно продолжить до тех пор, пока не будут исчерпаны все причины, воздействующие на исследуемый признак. Общая дисперсия при этом будет представлена как сумма дисперсий, ха­рактеризующих вариацию, вызванную каждой из причин, т. е.



Доля каждой из полученных дисперсий в общей дисперсии по­кажет степень влияния соответствующего признака на исследуемый результативный признак.

Именно поэтому правило сложения дисперсий находит широ­кое применение в анализе взаимосвязей и зависимостей.

Вопросы для самоконтроля

1.. Что такое средние величины и каковы их роль и значение?



  1. Какие существуют средние величины и как рассчитываются средняя арифметическая простая и взвешенная?

  2. Как осуществляется расчет средней арифметической по дан­ным интервального ряда?

  3. Свойства средней арифметической.

  4. Средняя хронологическая для интервального и моментного ряда.

  5. Что такое средняя гармоническая и как рассчитать среднюю гармоническую простую и взвешенную?

  6. В чем сущность моды и как она рассчитывается для вариа­ционного и интервального ряда?

  7. Что такое медиана, какими свойствами она обладает и как рассчитывается медиана для интервального ряда?

  8. Квартили и децили. Для каких целей они применяются и как они рассчитываются?

10. Какие существуют показатели вариации и для каких целей они применяются?



скачать файл


<< предыдущая страница  
Смотрите также:
Средняя величина есть обобщающая количественная характеристика однородных явлений по какому-либо варьирующему признаку
414kb.
Конспект уроков по химии Тема урока: Химические реакции (7 класс)
136,31kb.
Тема модели динамического программирования
578,56kb.
Министерствообразования и науки российскойфедерации
192,63kb.
Аналитическая часть
1203,5kb.
Законы Мерфи для отдыхающих
16,52kb.
Кипрские соглашения о двойном налогообложении
92,19kb.
Иисус сказал: пустите детей и не препятствуйте им приходить ко Мне, ибо таковых есть Царство Небесное
52,91kb.
Атмосфера это газовая оболочка планеты, движущаяся вместе с планетой в мировом пространстве как единое целое
47,02kb.
Инструкция по настройке спутниковой антенны
52,31kb.
Блок Законы Ньютона. Масса. Силы
91,37kb.
Урок русского языка 4 класс (1-4) умк «Гармония» Тема: Однородные члены предложения. Закрепление
47,35kb.